II.7. О мнимости в физике
Подходя к изучению процессов, связанных с возникновением собственных колебательных процессов, мы неизбежно должны столкнуться с понятием мнимости.
В математике мнимость рассматривается при изучении функции комплексной переменной, когда некий вектор G описывают суммой взаимно ортогональных составляющих x и y таким образом, что:
G = x + jy , (II.10)
где j = 
.
Иначе выражение (II.10) можно представить следующим образом:
G = Re (G) + jIm (G) (II.10a)
Абсцисса x и ордината jy совместно представляют собой комплексную плоскость и, соответственно, реальную (Real) и мнимую (Imreal) составляющие комплексной функции G.
Учение о комплексных числах начало развиваться в XVI веке, но, в отличие от многих других областей математики, практической необходимости в наличии этого раздела не было еще очень долго. Так, в 1702 году Эйлер характеризовал комплексные числа исключительно как "некий промежуточный момент между земным и божественным".
Формально функции комплексного переменного могут быть использованы в любой области физики при операциях с векторами, однако физический смысл мнимости впервые был выявлен при описании электрических цепей, содержащих индуктивность L и емкость C, при прохождении через них переменного электрического тока.
Это оказалось связанным с тем, что при протекании переменного тока синусоидальной формы как через L, так и через C, этот ток и прикладываемое к ним напряжение оказываются взаимно сдвинутыми на 900. Ток через индуктивность отстает на 900 от прикладываемого к ней напряжения, а на конденсаторах, наоборот, напряжение отстает (также на 900) от протекающего через них тока. Взаимная ортогональность тока и напряжения на индуктивности и емкости приводит к тому, что на этих элементах не происходит расходования энергии. В самом деле, мощность, рассеиваемая на элементе электрической цепи, определяется скалярным произведением векторов тока и напряжения, и вследствие их взаимной ортогональности (cos900=0) равна нулю. В отличие от активного сопротивления, на котором ток и напряжение совпадают по фазе, индуктивность и емкость являются сопротивлениями реактивными.
В случае если электрическая цепь содержит элементы активной и реактивной электропроводности, следует говорить об активной и мнимой мощности. Активная мощность выделяется в виде тепла на активных элементах схемы. Реактивная же или мнимая - на реактивных, но при этом не расходуется, а либо запасается (заряд конденсатора), либо перекачивается из одного реактивного элемента в другой, как это происходит в L-C колебательном контуре.
Очень важно здесь отметить, что собственные колебания электрического контура, состоящего из индуктивности и емкости, происходят без тепловых потерь, и описываются на мнимой оси, за счет перекачки этой самой мнимой мощности. Разумеется, идеального контура не существует, и неизбежно существуют потери на тепло и на излучение в пространство, в результате чего собственные колебания всегда носят затухающий характер.
Наличие мнимой энергии приводит к появлению явлений, которые без учета этой мнимости объяснены быть не могут. Так, возбуждая колебательный контур электрическим напряжением u, мы получим на любом из элементов контура (L или C) напряжение, во много раз большее, чем u. То есть амплитуда возбуждаемых в контуре колебаний может оказаться больше амплитуды возбуждающего воздействия. Это также очень важный для нас момент, так как из практики акустических и сейсмоизмерений известно, что зачастую амплитуда упругих колебаний достигает величины, необъяснимо большой, если рассматривать поле упругих колебаний только на вещественной оси.
В общем виде, с учетом возможной мнимости, закон Ома выглядит следующим образом:
U = Z*I = (R + jX)*I, (II.11)
где Z характеризует полное электросопротивление цепи, R - активная составляющая сопротивления цепи, а X - реактивная.
То есть, как только коэффициент передачи Z между воздействием U и откликом I приобретает комплексный характер, тотчас же и электрическое поле приобретает мнимую составляющую.
Электромагнитное поле, распространяющееся в идеальном диэлектрике, характеризуется взаимной ортогональностью своих составляющих – Е и Н. А стало быть, характеризуется крайне низким затуханием. Именно этим объясняется известный факт, что радиоволны распространяются в атмосфере на как угодно большие расстояния.
В механике и акустике понятие мнимости также возникает при несовпадении направлений векторов воздействия и отклика.
Вернемся к определению поперечных волн. Как известно, поперечные (сдвиговые) волны характеризуются ортогональностью векторов механического напряжения и смещения. Энергия механического процесса есть скалярное произведение силы на путь или, в данном случае, механического напряжения на смещение. Скалярное произведение взаимно ортогональных векторов равно нулю. Налицо аналогия с энергетикой электрических цепей, содержащих элементы только с реактивной электропроводностью. Если предложить гипотезы на основе подобных аналогий, то следует ожидать, что:
- В силу мнимого характера поперечных волн собственные упругие колебания должны идти именно на этой части поля упругих колебаний;
- В силу мнимого характера поперечных волн следует ожидать их крайне низкого затухания.
Забегая вперед, отметим, что гипотезы эти полностью подтверждаются.
